什么是二叉搜索树 (Binary Search Tree)？

推荐答案

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：

1. 对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
2. 对于树中的每个节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
3. 左右子树也分别是二叉搜索树。

二叉搜索树的主要优点是它支持高效的查找、插入和删除操作，时间复杂度通常为 O(log n)，其中 n 是树中节点的数量。

本题详细解读

二叉搜索树的定义

二叉搜索树是一种二叉树，其中每个节点都包含一个键（或值），并且满足以下性质：

• 左子树中的所有节点的键值小于当前节点的键值。
• 右子树中的所有节点的键值大于当前节点的键值。
• 左右子树也必须是二叉搜索树。

二叉搜索树的操作

1. 查找：从根节点开始，比较目标值与当前节点的值。如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中继续查找；如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中继续查找；如果相等，则找到目标节点。
2. 插入：从根节点开始，比较要插入的值与当前节点的值。如果小于当前节点的值且左子树为空，则插入到左子树；如果大于当前节点的值且右子树为空，则插入到右子树；否则继续递归查找合适的位置。
3. 删除：删除操作稍微复杂一些，需要考虑三种情况：
   • 删除的节点是叶子节点：直接删除。
   • 删除的节点只有一个子节点：用子节点替换当前节点。
   • 删除的节点有两个子节点：找到右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点），用该节点的值替换当前节点的值，然后删除该最小（或最大）节点。

二叉搜索树的应用

二叉搜索树广泛应用于需要高效查找、插入和删除操作的场景，例如：

• 数据库索引
• 字典
• 文件系统

二叉搜索树的复杂度

• 查找：平均时间复杂度为 O(log n)，最坏情况下（树退化为链表）为 O(n)。
• 插入：平均时间复杂度为 O(log n)，最坏情况下为 O(n)。
• 删除：平均时间复杂度为 O(log n)，最坏情况下为 O(n)。

二叉搜索树的平衡性

为了保持二叉搜索树的高效性，通常需要保持树的平衡。常见的平衡二叉搜索树包括：

• AVL 树
• 红黑树

这些平衡树通过旋转操作来保持树的平衡，从而确保操作的时间复杂度始终为 O(log n)。