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邻接矩阵是一种用于表示图的二维数组。对于一个有 ( n ) 个顶点的图，邻接矩阵是一个 ( n \times n ) 的矩阵，其中矩阵的元素 ( A[i][j] ) 表示顶点 ( i ) 和顶点 ( j ) 之间是否存在边。如果存在边，则 ( A[i][j] ) 为 1（或边的权重），否则为 0。
本题详细解读
邻接矩阵的定义
邻接矩阵是图的一种存储方式，特别适用于稠密图（即边数接近顶点数平方的图）。对于一个有 ( n ) 个顶点的图，邻接矩阵是一个 ( n \times n ) 的矩阵。矩阵的行和列分别代表图中的顶点，矩阵中的值表示顶点之间是否存在边。
邻接矩阵的表示
- 无向图：对于无向图，邻接矩阵是对称的。如果顶点 ( i ) 和顶点 ( j ) 之间存在边，则 ( A[i][j] = A[j][i] = 1 )。
- 有向图：对于有向图，邻接矩阵不一定对称。如果存在从顶点 ( i ) 到顶点 ( j ) 的边，则 ( A[i][j] = 1 )，而 ( A[j][i] ) 不一定为 1。
- 带权图：对于带权图，矩阵中的值可以表示边的权重，而不是简单的 0 或 1。
邻接矩阵的优缺点
优点
- 简单直观：邻接矩阵的表示方式非常直观，容易理解和实现。
- 快速查询：可以在 ( O(1) ) 时间内判断两个顶点之间是否存在边。
- 适合稠密图：对于边数接近顶点数平方的图，邻接矩阵的空间利用率较高。
缺点
- 空间复杂度高：对于稀疏图（即边数远小于顶点数平方的图），邻接矩阵会浪费大量空间。
- 插入和删除操作较慢：在邻接矩阵中插入或删除边需要 ( O(1) ) 时间，但插入或删除顶点需要 ( O(n^2) ) 时间。
邻接矩阵的应用
邻接矩阵常用于图的算法中，如最短路径算法（如 Floyd-Warshall 算法）、图的连通性判断等。由于其简单性和快速查询的特点，邻接矩阵在某些场景下是非常有效的。
代码示例
以下是一个简单的邻接矩阵的代码示例（以无向图为例）：
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----------输出结果：
[0, 1, 0, 0] [1, 0, 1, 0] [0, 1, 0, 1] [0, 0, 1, 0]