什么是堆 (Heap)？

推荐答案

堆（Heap）是一种特殊的完全二叉树，它满足以下性质：

• 最大堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
• 最小堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

堆通常用于实现优先队列，支持快速插入和删除最大或最小元素的操作。堆的常见操作包括插入、删除和获取堆顶元素，这些操作的时间复杂度通常为 O(log n)。

本题详细解读

堆的定义

堆是一种完全二叉树，这意味着除了最后一层，其他层都是完全填满的，并且最后一层的节点都尽可能靠左排列。堆的这种结构使得它可以用数组来高效地表示。

堆的性质

• 最大堆：在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值。因此，堆顶元素是整个堆中的最大值。
• 最小堆：在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。因此，堆顶元素是整个堆中的最小值。

堆的操作

1. 插入操作：

   • 将新元素插入到堆的末尾。
   • 从新插入的节点开始，向上调整堆，直到满足堆的性质。
   • 时间复杂度：O(log n)。

2. 删除操作：

   • 删除堆顶元素（最大堆中的最大值或最小堆中的最小值）。
   • 将堆的最后一个元素移动到堆顶。
   • 从堆顶开始，向下调整堆，直到满足堆的性质。
   • 时间复杂度：O(log n)。

3. 获取堆顶元素：

   • 直接返回堆顶元素。
   • 时间复杂度：O(1)。

堆的应用

• 优先队列：堆是实现优先队列的常用数据结构，支持快速获取和删除最高或最低优先级的元素。
• 堆排序：堆排序是一种基于堆的排序算法，时间复杂度为 O(n log n)。
• Dijkstra算法：在图的单源最短路径算法中，堆用于高效地选择下一个要处理的节点。

堆的实现

堆通常使用数组来实现，数组的索引与堆的节点位置对应。对于任意节点 i：

• 左子节点的索引为 2i + 1。
• 右子节点的索引为 2i + 2。
• 父节点的索引为 (i - 1) / 2。

这种实现方式使得堆的操作可以在数组上进行，而不需要显式地维护树结构。